Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los valores propios.

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Paso 1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $2$ es la matriz cuadrada $2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 1.3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplify each element.

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Paso 1.4.3.1

Suma $0.3$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.3 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Suma $0.2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 - λ \end{array}]$

Paso 1.5

Find the determinant.

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Paso 1.5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.7 - λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Paso 1.5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.1

Expande $(0.8 - λ) (0.7 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0.8 (0.7 - λ) - λ (0.7 - λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Paso 1.5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0.8 \cdot 0.7 + 0.8 (- λ) - λ (0.7 - λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Paso 1.5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0.8 \cdot 0.7 + 0.8 (- λ) - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Paso 1.5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.2.1.1

Multiplica $0.8$ por $0.7$ .

$p (λ) = 0.56 + 0.8 (- λ) - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Paso 1.5.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0.8$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Paso 1.5.2.1.2.1.3

Multiplica $0.7$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ - λ (- λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Paso 1.5.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.2 \cdot 0.3$

Paso 1.5.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Paso 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.2 \cdot 0.3$

Paso 1.5.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ + 1 λ^{2} - 0.2 \cdot 0.3$

Paso 1.5.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ + λ^{2} - 0.2 \cdot 0.3$

Paso 1.5.2.1.2.2

Resta $0.7 λ$ de $- 0.8 λ$ .

$p (λ) = 0.56 - 1.5 λ + λ^{2} - 0.2 \cdot 0.3$

Paso 1.5.2.1.3

Multiplica $- 0.2$ por $0.3$ .

$p (λ) = 0.56 - 1.5 λ + λ^{2} - 0.06$

Paso 1.5.2.2

Resta $0.06$ de $0.56$ .

$p (λ) = - 1.5 λ + λ^{2} + 0.5$

Paso 1.5.2.3

Reordena $- 1.5 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 1.5 λ + 0.5$

Paso 1.6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{2} - 1.5 λ + 0.5 = 0$

Paso 1.7

Resuelve $λ$

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Paso 1.7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.7.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1.5$ y $c = 0.5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $λ$ .

$\frac{1.5 \pm \sqrt{{(- 1.5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 0.5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3

Simplifica.

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Paso 1.7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.3.1.1

Eleva $- 1.5$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 - 4 \cdot 1 \cdot 0.5}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 0.5$ .

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Paso 1.7.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 - 4 \cdot 0.5}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $0.5$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.1.3

Resta $2$ de $2.25$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{0.25}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.1.4

Reescribe $0.25$ como ${0.5}^{2}$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{{0.5}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$λ = \frac{1.5 \pm 0.5}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$λ = \frac{1.5 \pm 0.5}{2}$

Paso 1.7.3.3

Simplifica $\frac{1.5 \pm 0.5}{2}$ .

$λ = \frac{3 \pm 1}{4}$

Paso 1.7.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = 1, \frac{1}{2}$

Paso 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Paso 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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Paso 3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Resta los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 0.8 - 1 & 0.3 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Simplify each element.

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Paso 3.2.2.1

Resta $1$ de $0.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2

Resta $0$ de $0.3$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 \\ 0.2 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Paso 3.2.2.3

Resta $0$ de $0.2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Paso 3.2.2.4

Resta $1$ de $0.7$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 \\ 0.2 & - 0.3 \end{array}]$

Paso 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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Paso 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.2}{- 0.2} & \frac{0.3}{- 0.2} & \frac{0}{- 0.2} \\ 0.2 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1.5 & 0 \\ 0.2 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1.5 & 0 \\ 0.2 - 0.2 \cdot 1 & - 0.3 - 0.2 \cdot - 1.5 & 0 - 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 1.5 y = 0$

$0 = 0$

Paso 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1.5 y \\ y \end{array}]$

Paso 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1.5 \\ 1 \end{array}]$

Paso 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1.5 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1.5 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] - \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- \frac{1}{2}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Paso 4.2.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 (\frac{1}{2}) \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Paso 4.2.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 (\frac{1}{2}) & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 0.8 - \frac{1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3

Simplify each element.

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Paso 4.2.3.1

Para escribir $0.8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.2

Combina $0.8$ y $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0.8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$[\begin{array}{c} \frac{0.8 \cdot 2 - 1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.4.1

Multiplica $0.8$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1.6 - 1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.4.2

Resta $1$ de $1.6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0.6}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.5

Divide $0.6$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.6

Suma $0.3$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.7

Suma $0.2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.8

Para escribir $0.7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.9

Combina $0.7$ y $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & \frac{0.7 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & \frac{0.7 \cdot 2 - 1}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.11

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.11.1

Multiplica $0.7$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & \frac{1.4 - 1}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.11.2

Resta $1$ de $1.4$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & \frac{0.4}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.12

Divide $0.4$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & 0.2 \end{array}]$

Paso 4.3

Find the null space when $λ = \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{0.3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{0.3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0.3}{0.3} & \frac{0.3}{0.3} & \frac{0}{0.3} \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0.2 - 0.2 \cdot 1 & 0.2 - 0.2 \cdot 1 & 0 - 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

Paso 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

Paso 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

Paso 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1.5 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$